Tổng hợp một số bài bất đẳng thức:
                                                                                          Nguồn: VMF

Bài 1:
Cho abc=1 va $a^{3}> 36.  CMR  :\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab +bc+ca$}
Lời giải:
$VT-VP=\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab-bc+2bc+\frac{a^{2}}{12}=(\frac{a}{2}-b-c)^{2}+\frac{a^{2}-36bc}{12}>0\Rightarrow$ đpcm
Cách khác:

Từ giả thiết suy ra $a>0$ và $bc>0$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$$\dfrac{a^2}{3}+(b+c)^2-3bc-a(b+c)\ge 0\\ \iff \dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}\ge 0$$

Vì $a^3>36$ nên $$\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}> \left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{1}{4}= \left(\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2 >0$$

Bài 2:

Với a,b,c >0; n ∈ N*.CMR:
$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{a+c}+\frac{c^{n}}{a+b}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{a+b+c} \right )$
Lời giải:
$\sum \frac{a^{n}}{b+c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{n})(\sum \frac{1}{a+b})\geq \frac{1}{3}(\sum a^{n})(\frac{9}{2(a+b+c)})=\frac{3}{2}(\frac{\sum a^{n}}{\sum a})$

Bài 3:
Cho $x,y,z >0$ thỏa điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x^5}{y^2}+\frac{y^5}{z^2}+\frac{z^5}{x^2}$
Lời giải:
Theo $Cauchy$ Ta có:
$$\dfrac{x^5}{y^2}+\dfrac{x^5}{y^2}+\sqrt{3}y^2+\sqrt{3}y^2+3\sqrt{3}\ge \sqrt{3}x^2$$
Cách khác:
Sử dụng Cauchy-Schwarzt ta có 
       $\frac{x^5}{y^2}+\frac{y^5}{z^2}+\frac{z^5}{x^2}\geqslant \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{xy^2+yz^2+zx^2}$
Sử dụng Cauchy-Schwarzt và AM-GM ta có 
       $xy^2+yz^2+zx^2\leqslant \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}\leqslant \sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}}=3$
Do đó $P\geqslant \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{3}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{9}=3$ 
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài 4:
Ch0 $a>0$ và $n$ là 1 số tự nhiên
Chứng minh rằng $a^n+\frac{1}{a^n}-2\geqslant n^2(a+\frac{1}{a}-2)$
Lời giải:
Bất đẳng thức tương đương với $(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)\geq n^2a^{n-1}$ (hiển nhiên theo AM-GM)
Cách khác:
Do tính đối xứng giữa a và $\frac{1}{a}$ nên ta có thể giả sử a ≥ 1.  đặt $\sqrt{a}$ =x ≥ 1.bdt $\Leftrightarrow$ $x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}-2 \geq n^{2}(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2)\Leftrightarrow (x^{n}-\frac{1}{x^{n}})^{2}\geq n^{2}(x-\frac{1}{x})^{2} \Leftrightarrow$x^{n}-\frac{1}{x^{n}}\geq n(x-\frac{1}{x})$①.
Với x=1 thì ① đúng
Với x>1 thì ① $\Leftrightarrow x^{n-1} +x^{n-3} ...+\frac{1}{x^{n-3}}+\frac{1}{x^{n-1}}\geq n$ (đúng vì theo bđt AM-GM).
Dấu bằng xảy ra khi x=1 $\Leftrightarrow a=1$

Bài 5:
Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a+b+c+d=0\\a^2+b^2+c^2+d^2=2 \end{matrix}\right.$
Tìm GTLN của $P=abcd$
Lời giải:
Áp dụng AM-GM ta có 
$2=\sum a^{2}\geq 4\sqrt[4]{\prod a^{2}}\Rightarrow \sqrt{\left | abcd \right |}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow abcd\leq \frac{1}{4}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=-c=-d=\frac{1}{\sqrt{2}}$ và các hoán vị của chúng

Bài 6:
Cho $a,\,b,\,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$P=abc\left(a^2+b^2+c^2\right)$$
Lời giải:
Ta có: $P=abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Mặt khác, lại có: $(ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \left (\frac{(a+b+c)^{2}}{3} \right )^{3}=\frac{1}{27}$

Do đó: $P\leq \frac{1}{81}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c= \frac{1}{3}$

Bài 7:
Cho các số thực $x,\,y>0$ thỏa mãn $3x+y\leq1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$S=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}$$
Lời giải:
$S\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x(1-3x)}}$
$\geq \frac{1}{x}+\frac{2}{1-2x}=\frac{2}{x(1-x)}\geq \frac{8}{(x+1-x)^{2}}=8$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Bài 8:
Cho các số thực a,b,c,x,y thỏa mãn  $$ax-by=\sqrt{3}$$ .
Tìm GTNN của $F= a^{2}+b^{2}+x^{2}+y^{2}+ bx +ay$
Lời giải:

Sử dụng giả thiết $ax-by=\sqrt{3}$ ta có:

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ax-by)^2=(ax+by)^2+3$$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ , suy ra:

$$a^2+b^2=x^2+y^2=(a^2+b^2)+(x^2+y^2) \\ \ge 2\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}=2\sqrt{(ax+by)^2+3}$$

Do đó, ta đưa về bài toán tìm GTNN của: $2\sqrt{x^2+3}+x$ trong đó $x=ax+by$

Ta có:

$$\left(2\sqrt{x^2+3}+x\right)^2=4(x^2+3)+4x\sqrt{x^2+3}+x^2 \\ = (x^2+3)+4x\sqrt{x^2+3}+4x^2+9 \\ = \left(\sqrt{x^2+3}+2x\right)^2+9\ge 9$$

$$\Rightarrow 2\sqrt{x^2+3}+x\ge 3$$

Vậy $\text{MinT}=\fbox{3}$

Bài 9: (An Nguyễn)
Cho $a, b, c> 0$. CMR:
$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{a^2+ac+c^2}\geq\dfrac{a+b+c}{3}$

Lời giải:

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
$\dfrac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \dfrac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)}=\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}\geq \dfrac{a+b+c}{3}$(đpcm)
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$